Une borne sur les zéros de Riemann passe de 41,6 % à 67,2 % avec Claude

Une version de recherche de Claude porte de 41,6 % à 67,2 % la borne connue des zéros de la fonction zêta situés sur la ligne critique.

Une version de recherche non publiée de Claude a été chargée de travailler sur l’hypothèse de Riemann, l’un des problèmes du millénaire doté d’un prix d’un million de dollars. Le modèle ne l’a pas résolue, mais son exploration a débouché sur un résultat distinct concernant la proportion minimale de zéros de la fonction zêta située sur la ligne critique.

Le précédent record inconditionnel dépassait légèrement cinq douzièmes, soit 41,6 %, et remontait aux travaux de Pratt, Robles, Zaharescu et Zeindler. Cette borne était encore citée comme l’état de l’art dans des travaux académiques récents. Le papier attribué à Claude avance désormais une preuve inconditionnelle d’au moins deux tiers des zéros sur la ligne critique, portée à environ 67,25 % avec une famille de fonctions optimisée.

Le résultat s’appuie largement sur des travaux récents de Baluyot, Goldston, Suriajaya et Turnage-Butterbaugh autour de la corrélation entre les zéros, ainsi que sur un travail d’Enrico Bombieri. La contribution avancée dans le papier consiste notamment à remplacer une hypothèse de positivité traditionnellement liée à l’hypothèse de Riemann par une lecture fondée sur l’algèbre linéaire d’une forme hermitienne associée aux zéros. Des recherches antérieures avaient déjà atteint les deux tiers sous certaines hypothèses supplémentaires sur leur localisation, que ce nouveau raisonnement affirme ne plus nécessiter.

Selon Anthropic, le résultat est apparu après une première exploration de centaines de pistes, suivie d’une session prolongée coordonnant plusieurs dizaines de sous-agents pour tester les preuves, chercher des contre-exemples et confronter le résultat à la littérature existante. Deux mathématiciens de l’entreprise, Levent Alpöge et Ralph Furman, ont ensuite examiné indépendamment l’argument. Brian Conrey et Daniel Goldston, spécialistes directement liés aux travaux antérieurs sur cette question, ont également lu le manuscrit et transmis leurs commentaires.

Une formalisation complète accompagne le papier dans Lean 4. Le dépôt publié par Anthropic indique que les théorèmes principaux sont formalisés sans hypothèses supplémentaires ni éléments laissés sans preuve, directement à partir des définitions de la fonction zêta présentes dans Mathlib.

Le résultat ne constitue toutefois pas une preuve partielle au sens où les 32,8 % restants seraient situés hors de la ligne critique. Le papier précise explicitement qu’il ne permet ni de prouver ni de réfuter l’hypothèse de Riemann : il augmente uniquement la proportion minimale dont la présence sur cette ligne peut être certifiée par cette méthode.