OpenAI publie une preuve de Navier-Stokes, sa genèse déclenche une controverse

OpenAI affirme avoir résolu le problème de Navier-Stokes avec 10 000 agents. La preuve est publique, mais son origine et son attribution font débat.

Environ 10 000 agents, 88 heures de recherche et 130 milliards de tokens produits pour s’attaquer à l’un des problèmes les plus difficiles des mathématiques. Le 8 septembre 2026, OpenAI a publié une preuve selon laquelle les équations de Navier-Stokes peuvent développer une singularité en temps fini. L’annonce aurait pu rester un moment de bascule scientifique. Elle s’est immédiatement doublée d’une bataille sur l’origine des idées, l’usage de travaux confidentiels et la façon dont l’entreprise aurait tenté de répartir les crédits.

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des fluides, de l’air autour d’une aile aux courants océaniques. Elles associent la vitesse, la pression, la viscosité et les forces extérieures pour représenter un fluide comme un milieu continu.

Leur emploi quotidien en ingénierie ne signifie pas que leur comportement mathématique soit entièrement compris. Dans trois dimensions, personne n’avait démontré si une situation initialement régulière devait le rester indéfiniment ou si certaines grandeurs pouvaient devenir infinies après un temps fini.

Une telle rupture est appelée singularité ou « blowup ». Elle ne correspond pas à un fluide réel se mettant soudainement à circuler à une vitesse infinie. Elle montre plutôt que, dans certaines conditions, le modèle mathématique cesse de fournir la solution régulière attendue.

Jean Leray avait établi dès 1934 l’existence de solutions dites faibles, qui satisfont les équations dans un sens élargi. La question de leur régularité et de leur unicité est néanmoins restée ouverte. En 2000, le Clay Mathematics Institute a intégré cette énigme aux sept problèmes du millénaire, chacun associé à un prix d’un million de dollars.

La preuve publiée par OpenAI occupe 166 pages. Elle construit, pour toute viscosité positive, un écoulement tridimensionnel partant du repos et soumis à une force extérieure lisse, limitée dans l’espace et dans le temps. Sa vitesse devient non bornée à l’instant final, alors que son énergie cinétique totale reste limitée.

La présence d’une force extérieure a rapidement créé de la confusion dans les commentaires en ligne. La version la plus connue du problème demande souvent si un fluide laissé sans force peut produire une singularité. Le document d’OpenAI ne démontre pas ce scénario.

Il ne traite pas pour autant une question étrangère au prix. La formulation officielle rédigée par Charles Fefferman prévoit quatre voies. Les options A et B consistent à démontrer l’existence de solutions régulières globales sans force, dans l’espace ordinaire ou dans un domaine périodique. Les options C et D autorisent un contre-exemple utilisant une force extérieure, à condition que celle-ci respecte des exigences précises de régularité.

OpenAI affirme établir C dans l’espace tridimensionnel et D sur un tore périodique. Si tous les arguments sont corrects et si les hypothèses formalisées correspondent exactement à celles de Fefferman, la preuve répond donc bien à l’une des versions admises du problème du millénaire.

La construction prend la forme d’un tourbillon qui se contracte sur lui-même. Le fluide tourne vers l’intérieur tandis que son noyau devient progressivement plus étroit et plus allongé. Les vitesses angulaire et axiale augmentent, mais la région concernée rétrécit assez vite pour que l’énergie totale ne diverge pas.

Le véritable obstacle consiste à préserver une force extérieure parfaitement lisse. Il serait facile de définir après coup une force singulière capable de provoquer le comportement recherché, mais cela ne répondrait pas au problème. La preuve ajoute donc des impulsions oscillantes autour du noyau. Leurs transferts de quantité de mouvement corrigent les termes divergents produits par le tourbillon principal.

Une succession de corrections doit ensuite annuler les erreurs restantes à des échelles de plus en plus fines. La force résiduelle conserve alors sa régularité jusqu’au moment où la vitesse devient non bornée. C’est cette cascade de compensations qui explique la longueur et la technicité du document.

Le résultat ne fournit pas directement une nouvelle méthode pour simuler la météo, concevoir un avion ou prévoir une turbulence. Il concerne l’existence d’un comportement extrême dans un cadre mathématique idéal. Son intérêt tient à ce qu’il révèle sur les limites internes des équations, pas à une application industrielle immédiate.

La méthode de production de la preuve est presque aussi inhabituelle que son contenu. Dans sa présentation officielle, OpenAI indique avoir utilisé un modèle interne de prochaine génération dont l’entraînement avait commencé le 28 août. L’entreprise le décrit comme nettement plus performant que GPT-6 Astra, sans publier son nom, son architecture, ses résultats détaillés ni sa date de disponibilité.

Le 1er septembre, ses équipes auraient entendu des rumeurs selon lesquelles deux problèmes du millénaire venaient d’être résolus. Elles ont alors lancé plusieurs groupes d’agents sur les six problèmes encore ouverts et sur des questions jugées plus accessibles.

Chaque groupe recevait une formulation différente. Certains cherchaient à prouver la régularité des solutions de Navier-Stokes, d’autres à construire une rupture. Les agents pouvaient consulter une copie mise en cache du web, exécuter du code, communiquer entre eux et transmettre leurs résultats intermédiaires.

Une centaine d’entre eux aurait d’abord travaillé pendant une cinquantaine d’heures sur les équations d’Euler, qui correspondent au cas d’un fluide sans viscosité. OpenAI affirme que ce premier groupe a construit une autre preuve de singularité, cette fois sans force extérieure.

L’entreprise a ensuite déplacé ses moyens vers Navier-Stokes. Codex servait à réunir les idées jugées utiles dans les différents groupes afin de les réinjecter dans de nouvelles instructions. Le dispositif consacré au problème principal a atteint environ 10 000 agents simultanés.

OpenAI comptabilise 2,7 millions de messages et 130 milliards de tokens